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二分法求方程近似根與實根,誤差不超 10^-3 與 10^-4

更新時間:2024-11-08 15:23:34作者:佚名

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1、(,問題1)用二分法求[1,2]內方程X'-X-1=0的近似根,要求誤差不

超過10-3。

【解】由二分法的誤差估計公式&〃十軔=波_;=10”,得

2k1 - 空10-,所以取k=9,即至少

在 2

。

AK

黑色

xk

f(xQ 符號

2. (思路島答案網,問題2)證明方程f(x)2ex,10x-2在區間[0,1]內有唯一實根;使用

要使用二分法求實根,誤差不得超過-10^。

【解】由于f(x)=ex,10x-2,則f(x)在區間[0,1]內連續,且

f(0) =e° 10 0 - 2 = —1:: 0, f (1) -e1 10 1 — 2 = e 8 0,即 f(0) f(1):: 0,由連續函數 根據中間值定理,f(x) 在區間 [0,1] 內至少有一個零點。

且f'(x)=ex 10 0,即f(x)在區間[0,1]內單調,因此f(x)在區間[0,1]內有唯一實數根。

根據二分法的誤差估計公式|x*-Xk常偁10^,我們得到2k -100。

2 2 2

取兩端的自然對數,k與0和2相同,所以k=7,也就是說至少需要兩個點

ln2

。

AK

黑色

xk

f(Xk) 符號

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1.(問題8)已知e=...;我們來求一下它的近似值 X, = , x2 = , X2= , x^

每個有多少位有效數字?并給出它們的相對誤差限。

[解答] 有效數字:

1、

因為|前貝語網校,| = ...:::10思路島答案網,所以 X,=;

1/

因為 |e-X2 |= ...:::10,所以 x^;

因為 |e-x3 |=...:::10,所以 x^;

|e X1 |

=%

=| e-X2 |

X2

=%;

|e-X3 |

X3

=%。

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注釋 (1) 通過四舍五入得到的近似數字;所有數字均為有效數字;

(2)近似數中并非所有數字都是有效數字

2. (, 問題9) 假設% =; x2 =; x^是相似的值,并嘗試指出它們的絕對誤差(極限)和相對誤差(極限)。

1o

【解】M-; ; r1 二一1 10";

x1

;2 =; ;r2 2::10(;

x2

- ;

X3

10、

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對注釋進行四舍五入所得的近似數字,絕對誤差限于最后一位數字位置的半個單位。

3. ( ,問題 10) 已知 x1 = ; x^ - ; x3 =184 10,絕對誤差限為

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